Abstract
听君一席话，在下如拨云见日，茅塞顿开啊（\狗头，可怜的楚团长）.本文符号记法随前文。上回提到，任何一个从$U->V$空间的线性变换T，在给定$U、V$的基$B、B’$之后，都有其矩阵表示$[T]_{BB’}$。现我们给出约束：
- 输入空间等于输出空间：$U=V=R^{n}$。
- 输入空间的基等于输出空间的基：$B=B’$。
那么，如果$T$在$B=B’=B_{1}$的矩阵为$[T]_{B_1}$，$T$在$B=B’=B_{2}$的矩阵为$[T]_{B_2}$，记$P=[I]_{B_1B_2}$则
\begin{equation}\label{1}
[T]_{B_1} = P^{-1}[T]_{B_1}P
\end{equation}
而我们知道，对角矩阵就是线性代数的神，其拥有很多良好的性质，所以我们可不可以选择一组基，使得该线性变换的矩阵为对角矩阵呢？这里先给结论：在结合上述约束的情况下，如果线性变换的矩阵有n个特征向量，那么就可以选择一组合适的基，使得该线性变换的矩阵表示为对角矩阵。
Invariant Subspaces
Definition
给定$U=V, \chi \subseteq V$， $\chi=R^{r}.r \leqslant n$，$T$是$V$上的线性算子，如果
\begin{equation}\label{2}
T(\chi)= \chi
\end{equation}
我们就称$\chi$是$V$中$T$下的不变子空间。说人话就是，$T$作用在$\chi$中的任一元素后，结果仍然在$\chi$中。
Restricted Operator
有了不变子空间的定义后我们很自然地可以引入restricted operator，由于$T$作用在$\chi$上与$V$中的其他元素无关，那么就好像$\chi$是一个baby $V$，我们定义一个只作用在$\chi$上的作用相同的变换$T_{/\chi}$。此即restricted operator。
The matrix representation of restricted operator
定义$\chi$的一组基为$B_x={x_1,x_2···x_r}$，故，根据线性变换基的矩阵表示的定义，可得：
\begin{equation}\label{3}
[A/\chi]_{B_x} = ([A/\chi(x_1)]_{B_x}|[A/\chi(x_2)]_{B_x}|···|[A/\chi(x_r)]_{B_x}])
\end{equation}
The matrix of $T$ involved $T/\chi$
如果我们把$\chi$的基$B_x$作为$V$输入基$B$的一部分，那么此时的$[T]_B$的形式是怎样的呢？emm..interesting.
令$B=(x_1,x_2…x_r,y_1,y_2…y_q)$是$V$的一组基，那么，
\begin{equation}\label{4}
[T]_B=([T(x_1)]_B|···|[T(x_r)]_B|[T(q_1)]_B···|[T(y_q)]_B)
\end{equation}
由于$x_1->x_r$是不依赖于后面的$y$的，所以
\begin{equation}\label{5}
\begin{matrix}
T(x_j)=\sum_{i=1}^{r}\alpha_{ij}x_i &
[T(x_j)]_B = \begin{pmatrix}
\alpha_{1j}\\
···\\
\alpha{rj}\\
0\\
···\\
0
\end{pmatrix}\end{matrix}
\end{equation}
\begin{equation}\label{6}
\begin{matrix}
T(y_j)=\sum_{i=1}^{r}\beta_{ij}x_i + \sum_{i=1}^{q}\gamma_{ij}y_i &
[T(y_j)]_B = \begin{pmatrix}
\beta_{1j}\\
···\\
\beta_{rj}\\
\gamma_{1j}\\
···\\
\gamma_{qj}
\end{pmatrix}\end{matrix}
\end{equation}
从而，可得出：
\begin{equation}\label{7}
[T]_B =
\begin{pmatrix}
\alpha_{11} & ··· & \alpha_{1r} & \beta_{11} & ··· & \beta_{1q}\\
·& ··· & · & · & ··· & ·\\
\alpha_{r1} & ··· & \alpha_{rr} & \beta_{r1} & ··· & \beta_{rq}\\
0& ··· & 0 & \gamma_{11} & ··· & \gamma_{1q}\\
·& ··· & · & · & ··· & ·\\
0& ··· & 0 & \gamma_{q1} & ··· & \gamma_{qq}
\end{pmatrix}
\end{equation}左上角部分即为$[T_{/\chi}]_{B_{\chi}}$。
联想到特征向量以及特征空间
上面我们已经得出一般形式，不难发现，$[T]_B$的n个特征向量（前面我们的约束），都是$T$下的不变子空间，那么有意思的来了，把这n个特征向量作为$V$的基$B=(x_1,x_2,···,x_n)$，那么$[T]_B$的形式就是一个对角矩阵了，对角线元素为特征值$\lambda$，interesting。