从不变子空间到-良好的矩阵表示

Abstract

听君一席话，在下如拨云见日，茅塞顿开啊（\狗头，可怜的楚团长）.本文符号记法随前文。上回提到，任何一个从空间的线性变换T，在给定 $、$ 的基 $、$ 之后，都有其矩阵表示。现我们给出约束：

这里先给结论：在结合上述约束的情况下，如果线性变换的矩阵有n个特征向量，那么就可以选择一组合适的基，使得该线性变换的矩阵表示为对角矩阵。

Invariant Subspaces

Definition

给定，，是上的线性算子，如果

我们就称是中下的不变子空间。说人话就是，作用在中的任一元素后，结果仍然在中。

Restricted Operator

有了不变子空间的定义后我们很自然地可以引入restricted operator，由于作用在上与中的其他元素无关，那么就好像是一个baby ，我们定义一个只作用在上的作用相同的变换。此即restricted operator。

[](#The-matrix-representation-of-restricted-operator)The matrix representation of restricted operator

定义

的一组基为

，故，根据线性变换基的矩阵表示的定义，可得：

The matrix of involved

如果我们把的基作为输入基的一部分，那么此时的的形式是怎样的呢？emm..interesting.
令是的一组基，那么，

由于是不依赖于后面的的，所以
\begin{equation}\label{5}
\begin{matrix}
T(x_j)=\sum_{i=1}^{r}\alpha_{ij}x_i &
[T(x_j)]B = \begin{pmatrix}
\alpha{1j}\
···\
\alpha{rj}\
0\
···\
0
\end{pmatrix}\end{matrix}
\end{equation}

\begin{equation}\label{6}
\begin{matrix}
T(y_j)=\sum_{i=1}^{r}\beta_{ij}x_i + \sum_{i=1}^{q}\gamma_{ij}y_i &
[T(y_j)]B = \begin{pmatrix}
\beta{1j}\
···\
\beta_{rj}\
\gamma_{1j}\
···\
\gamma_{qj}
\end{pmatrix}\end{matrix}
\end{equation}

从而，可得出：
\begin{equation}\label{7}
[T]B =
\begin{pmatrix}
\alpha{11} & ··· & \alpha_{1r} & \beta_{11} & ··· & \beta_{1q}\
·& ··· & · & · & ··· & ·\
\alpha_{r1} & ··· & \alpha_{rr} & \beta_{r1} & ··· & \beta_{rq}\
0& ··· & 0 & \gamma_{11} & ··· & \gamma_{1q}\
·& ··· & · & · & ··· & ·\
0& ··· & 0 & \gamma_{q1} & ··· & \gamma_{qq}
\end{pmatrix}
\end{equation}
左上角部分即为$[T_{/\chi}]{B{\chi}}$。

联想到特征向量以及特征空间

上面我们已经得出一般形式，不难发现，的n个特征向量**（前面我们的约束），都是下的不变子空间，那么有意思的来了，把这n个特征向量作为的基，那么的形式就是一个对角矩阵**了，对角线元素为特征值，interesting。