Change-Of-Basis-Operator

Notation

1. 表示，以为输入、输出基下，变换的矩阵表示
2. 表示分别以为输入、输出基下，变换的矩阵表示。
3. 表示这个object在下的坐标表示。上述

Abstract

关于基变换算子的一些理解，(秃头进行中…)基变换算子是什么，我们可以用基变换算子干嘛？

• 用基变换算子，当然是对物体object进行基变换的鸭
• 探索对于同一个线性变换，在给定不同的输入基以及输出基下，其对应的矩阵有什么联系

什么是基变换算子

这一点是我学习时非常困扰的一点，把一切抛之于脑后，不去想基变换，就把它看成是一种变换，这样就好解释了。首先我们说明：基变换是一种线性变换，这个自己验证即可，而一个从的线性变换是客观存在的，只有当我们给定的一组基后，这个线性变换的矩阵表示才被确定下来。
我们知道，给定空间的一组基从空间的任意线性变换，都对应着一个矩阵表示。现在我们引出一个问题：基变换也是线性变换，那么我们给定一组基,基变换是从基，请问与之间都是基，那他们有什么联系呢？
这是我学习时非常非常困惑的一点，按照我的理解，这两者没有任何联系，他们所表示的内容是两个不同的概念：
把基变换算子就抽象出一个变换，其输入空间与输出空间都是（管它什么基变换不变换的，就看成是一个变换），而一个线性变换要在给定输入空间的一组输入基、输出空间的一组输出基下，才能给出其唯一的矩阵表示。上面的输入、输出基，即是。那么可能就有人问了：“那是啥呢？”，我们只要把****看作是这个线性变换里边儿的元素就可以了。
对应，李老师直接给出线性变换的定义：给定两个基。把变换为的T表示为

tips：上述定义之中的基是T要变换的东西，而不是T所在的基，好绕啊…

基变换算子的作用之一

假设是一个基变换算子的矩阵表示$P=[T]{BB’}$，x是一个object，其在下的坐标表示为$[x]{B}B’[x]{B’}[x]{B’}=P·[x]_{B}$。

基变换算子的矩阵表示是啥

不给定输入基与输出基谈变换的矩阵表示都是耍流氓，上述我们给出了基变换算子的定义，却并未给出该变换输入空间的输入基，输出空间的输出基。来看一下这个表达式

\begin{equation}\label{2}
P=[T]{BB}=[T]{B’B’}=[I]{BB’}=([x_1]{B’}|[x_2]{B’}|···|[x_n]{B’})
\end{equation}

我个人觉得的就是，由于基变换算子太饶了，而我们可以用一个简单的形式来等价表示，即$[I]{BB’}[I]{BB’}$来表示从B到B’的线性变换的矩阵了。

Prove Equation 3

根据定义，我们可以得到：

即表示这个object，在下的坐标表示，即。现在，我们同时考虑对等式3左右两边同时进行T变换：

这个式子很有趣啊，表示在下的坐标表示也为，即，结合等式3，那么就是

这样我们可以得到如下：

\begin{equation}\label{6}
[T]_b = ([T(x_1)]_B,[T(x_2)]B···[T(x_n)]B) = ([x_1]{B’},[x_2]{B’}···,[x_n]B’) = [T]{B’}
\end{equation}

证明与他们相等也很简单

\begin{equation}\label{7}
[I]{BB’}=[[I(x_n)]{B’},[I(x_2)]{B’}···,[I(x_n)]{B’}]=[[x_1]{B’},[x_2]{B’}···,[x_n]{B’}]=[T]{B’}
\end{equation}

我靠，这也太神奇了，从而，研究从的基变换算子，我们就可以研究这个矩阵了。

基变换算子的作用之二

考虑这样一种情况，是在上的一个线性算子(linear operator)，分别是的两组基，那么$[A]B[A]{B’}$这两个矩阵既然表示同样线性变换，那么它们有什么联系呢？

\begin{equation}\label{8}
[A]B = P^{-1}[A]{B’}P
\end{equation}

where ，这个很好理解嘛，我们把两边都乘以，即

\begin{equation}\label{9}
[A]_B[x]B = P^{-1}[A]{B’}P[x]_B
\end{equation}

学废了吗？因为这个东西，所以如果我们已知一个线性变换的矩阵表示$[A]B[A]{B’}$，这样在特定情况下就可以方便问题求解了。（一定要注意：线性变换是客观存在的，上述讨论的只是线性算子，即输入空间、输出空间是一样的。并且仅考虑输入空间、输出空间的基也是一样的。就相当于控制变量嘛，有同学可能要问了，那诸如投影算子这些呢，它们输入、输出空间肯定不一样鸭。这种情况不在我们的