Linear Transformation补充-线性变换的矩阵表示

Abstract

我在上篇文章中复现了李老师的证明：“在给定基下，任意线性变换都有其对应的矩阵表示”。然后关于这个矩阵表示是啥就没有写了，近些日子有些盆友(大妹子！)来问小雷同学，想着还是写出来吧，矩阵表示也蛮trivial的，just as a remainder。

Notation

令$U$、$V$的基分别是{B = u₁, u₂,…,u_n}、{B’=v₁, v₂,…,v_m}。$(\xi_1, \xi_2…\xi_n)^T=[u]_B$(tips: 即object u在基B下的坐标表示)。$T$是从$U->V$的一个线性变化。目的: 需要求给定基下，该变换的矩阵表示$A$。

得出过程

换句话说，即一个Object$u$在$U$下坐标$[u]_B = (\xi_1, \xi_2…\xi_n)^T$，左乘$A$后$A[u]_B$为$u$在经过$T$变换后在$V$下的坐标表示$[u]_{B’} = (\sigma_1, \sigma_2…\sigma_m)^T$。

\begin{equation}\label{1}
u=\xi_1u_1+\xi_2u_2···\xi_nu_n
\end{equation}

我们知道

\begin{equation}\label{2}
T(u_1) = \sigma_{11}v_1+\sigma_{21}v_2+···+\sigma_{m1}v_m
\end{equation}
\begin{equation}\label{3}
T(u_2) = \sigma_{12}v_1+\sigma_{22}v_2+···+\sigma_{m2}v_m
\end{equation}
···
\begin{equation}\label{4}
T(u_n) = \sigma_{1n}v_1+\sigma_{2n}v_2+···+\sigma_{mn}v_m
\end{equation}

因为$T$是线性变换，所以
\begin{equation}\label{5}
T(u) = T(\xi_1u_1)+T(\xi_2u_2)+···+T(\xi_nu_n)
\end{equation}

根据线性变化，把它提出来，然后再展开，可以得到
\begin{equation}\label{6}
T(u_1) = \xi_1(\sigma_{11}v_1+···+\sigma_{m1}v_m) + \xi_2(\sigma_{12}v_1+···+\sigma_{m2}v_m) + \xi_n(\sigma_{1n}v_1+···+\sigma_{mn}v_m)
\end{equation}

以$V$提出公因式
\begin{equation}\label{7}
(\xi_1\sigma_{11}+\xi_2\sigma_{12}+···+\xi_n\sigma_{1n})v_1 + ··· + (\xi_1\sigma_{m1}+\xi_2\sigma_{m2}+···+\xi_n\sigma_{mn})v_m
\end{equation}

$v_i$的系数即是变换后的object在$V$上的系数，写成矩阵形式，其系数为

$
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} &··· &\sigma_{1n} \\
···& ··· & ··· \\
\sigma_{m1}& ··· & \sigma_{mn}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\xi_1\\
···\\
\xi_n
\end{bmatrix}
$

左边这个矩阵就是这个啦。
再次强调，$T(u_1)$里面的$u_1$始终表示的对象，同理，等式右边也是对象。注意我sigma下标的定义，后面自然就明白了。