abstract
今天上完liao(致敬)李保滨老师的矩阵分析课程，对线性变换有了更进一步的理解，李老师与Gilbert的课程还是有差异的，个人感觉Gilbert老师的18.06对线代的基础（4个基本子空间）讲的更透彻，而李老师再线性变换处更明了
prerequisite
矩阵乘法AB=C的意义、C的行列与A、B行列的关系、线性变换、向量空间。这要搞清楚，这里不展开。
基本概念
首先我们想一个问题，
如何表示一个物体，其实小时候大家都做过这样的数学题，在坐标轴（笛卡尔棒棒）上对一些坐标标点，最后把这些点连起来，最终就会得到一个可爱的猫猫啦。可见，坐标可以用来描述物体。但是，仅仅是坐标就足够了吗。look, here’s the deal（poor Biden…），当然不是的，题目给出坐标时，默认了我们都在空间的标准基(standard basis)里。所以，除了坐标之外，我们还需要空间的基。比如说，我们说一点
(object)的coordinate是c = (1,2,3)，实际上我们默认是在说这个object = c1*e1 + c2*e2 + c3*e3。只是我们选择的基太tricky了，所以可以用coordinate stand for that object directly(important)。这样，用
基和坐标,就可以表述出我们的猫猫（客观物体object）了。tips：Gilbert的书中貌似有点说不清楚
object与coordinate的关系(当然是我太菜了)，李老师证明了：在给定基下，每一个线性变换都有其矩阵表示。
Prove: 在给定基下，每一个线性变换都有其矩阵表示
证明思路：联想到普通情况，令{e1, e2, e3}为$R^3$的基，我们如何证明在$R^3$空间中的任一目标，都能表示出来呢？obviously，令一个系数向量C(3x1)代表坐标，一个矩阵代表基B(3x3)，那么，BC就可以唯一表示这个object了。同理，李老师的证明过程如下：
- $U$与$V$分别代表两个向量空间$U=R^n$, $V=R^m$，把从
U->V的所有线性变换放到一个集合里，记作L(U, V)，那么L(U, V)是一个向量空间。 - 令$U$、$V$的基分别是
B={u1, u2,…,un}、B'={v1, v2,…,vm}。定义$T_{ji}(u)=\xi_jv_i$，$(\xi_1, \xi_2…\xi_n)^T=[u]_B$(tips: 即object u在基B下的坐标表示)`，那么，我们可以得出下面结论3: - $ T_L = \left \{ T_{ji}\right \}_{j=1…n}^{i=1…m} $是
L(U, V)的一组基。 - 如果有了结论3，那么得证。 即给定空间U、V的基，任意一个从
U -> V的线性变换，我们都可以用这组基$T_L$来表示，而表示的坐标coordinate，即是：在U、V的给定基下，从U -> V线性变换T的矩阵表示。
证明$ T_L = \left \{ T_{ji}\right \}_{j=1…n}^{i=1…m} $是L(U, V)的一组基
证明思路：1.$T_L$是线性无关的。2.$L(U, V)$中的任意一个元素，都能用$T_L$中的元素表示。
1.根据定义即证明$\sum_{j,i}\eta_{ji}T_{ji} = 0$中的所有$\eta_{ji}只能等于0$。这个鬼东西怎么证明呢，用到了一个小trick（tips:我这非数学专业就不去想那些老头子怎么想出来的了）
\begin{equation}\label{1}
T_{ji}(u_k) = \left\{\begin{matrix}
v_i & j=k\\
0 & j≠k
\end{matrix}\right.
\end{equation}
现在把要证的等式两端同时乘以$u_k$，即基组$U$的第k个基，得到
\begin{equation}\label{2}
(\sum_{j,i}\eta_{ji}T_{ji})(u_k) = 0
\end{equation}
去括号，相当于把$u_k$做${T_{ji}}$变换。
\begin{equation}\label{3}
\sum_{j,i}\eta_{ji}T_{ji}(u_k) = 0
\end{equation}
结合公式1，即可得出
\begin{equation}\label{4}
\sum_{i=1}^{m}\eta_{ki}v_i = 0
\end{equation}
因为${v_1,v_2,v_3..v_m}$是输出空间空间$V$的一组基底，所以所有$\eta$都等于0，得证。
要证第二个，首先要搞清楚$L(U, V)$中的元素是什么,exactly。这个集合里面存放的是：从$U$ -> $V$的所有线性变换。
现从$L(U,V)$中任取一个元素$T’$，now, enjoying this formulation,hahaha
\begin{equation}\label{5}
T(u) = T(\sum_{j=1}^{n}\xi_ju_j) = \sum_{j=1}^{n}\xi_jT(u_j) = \sum_{j=1}^{n}\xi_j \sum_{i=1}^{m}\alpha_{ij}v_i = \sum_{i, j}\alpha_{ij}\xi_jv_i = \sum_{i, j}T_{ji}(u)
\end{equation}
非常漂亮的过程。
现在，我们想证明的都证明完了，就可以说, 在给定输入空间$U$、输出空间$V$，以及他们自个的基$B$、$B’$下，每一个从$U$到$V$的线性变换都有其矩阵表示。
Brain Expansion
上述表述有一个flaw我没有提，你看那个第3点，为什么我们要把$T_{ji}(u)=\xi_jv_i$, $(\xi_1, \xi_2…\xi_n)^T=[u]_B$, $ T_L = \left \{ T_{ji}\right \}_{j=1…n}^{i=1…m} $作为
L(U, V)的一组基呢，它代表着啥含义。这点老师上课也没有讲(or 我走神了?)下面我简单分析一下首先我们看一下这个表达式
\begin{equation}\label{6}
T_{ji}(u_k) = \left\{\begin{matrix}
v_i & j=k\\
0 & j≠k
\end{matrix}\right.
\end{equation}将上面三个带入就发现这是成立的，即经过$T_{ki}$变换，$u_k$变换成了$v_i$，并且这个$T_{ki}$将其他的基$u_z(z≠k)$变成了0。穷举法，任意一个变换可能将原来空间的基$u_{1,2…n}$，变换成任意一个输出空间基的倍数$v_{1,2…m}$。所以，将这mxn
朴素变换(我瞎说的词)进行线性组合，既可以组合成任意在给定输入空间$U$、输出空间$V$，以及他们自个的基$B$、$B’$下，从$U$到$V$的线性变换。想出这个证明的人，我愿称之为现代王！
再往下延拓就是如何将这个变换用矩阵表示出来了，具体做法也很简单，这里就不说了
Summary
我在读Gilbert
的setction 8的时候，总是分不清其表达式$T(u)=u$的这两个u到底是代表的object还是coordinate。但是李老师讲解的过程$T(u)$很明确，就是说对object u 进行 $T$变换。不过遗憾的是，李老师这堂课的视频并没有放出来，我上面的东西估计只有我自己能看懂hhh，(tips: 大家不妨试试@一下UCAS的教务处^-^)。（再tips:上课已一月有余，北京的冷空气让我的厚衣服屁用都没有了)。