Lei Chao's Blog
0%

Linear Transformation and its Matrix Form(线性变换及其矩阵表示)

Posted on In

参考书：[Introduction to Linear Algebra]

概念汇总

这一节内容真实非常奇妙啊，简直是线代精华，用线代可以描述世间万物。空间、基、坐标表示、线性变换这四个术语息息相关，这里来阐述其关系。

  • 空间

    这个很好理解，从小我们就知道：点，线，面，体。这就对应着0维、1维、2维、3维空间，我们所处的就是三维空间。（PS:三体中的二向箔，莫非就是说明了宇宙是数字化出来的，歌者实则为编程人员，其甩出的二向箔，就是对宇宙(矩阵表示)的一部分进行了三维到二维的一个线性变化: linear transformation? interesting…）

  • 基

    既然我们有了空间的概念，那么我们如何表示这个空间呢？基(basis)就此出现了，可以理解为：空间的基础，即空间的任何一个位置，我们都可以用基的线性组合来表示。比如在我们三维空间里面，一个standard basis就是b1(1,0,0) b2(0,1,0) b3(0,0,1),任何一个位置v我们都可以用v = α*b1 + β*b2 + Γ*b3来表示。需要注意的是，我们对基的选择是非常自由的，如我们将列向量作为基写成矩阵ANxN，R(A)=N，那么这些列向量就可以作为这个N维空间的基。

  • 坐标表示

    我们平时所画的那个三维坐标轴x,y,z笛卡尔坐标系。常用3个数字来表述一个位置，如p1=(12,34,56)。这实则用完整的语言表述是：p1点，在基b1(1,0,0) b2(0,1,0) b3(0,0,1)所表示的三维空间下的坐标为(12,34,56)，用矩阵的表述语言如坐标与基。同一空间下相同的点，在不同的基下其坐标表示会不一样。

  • 线性变换 (Linear Transformation)

    线性变换的定义就不再赘述了，1中P405提出：任何从V=Rn到W=Rm的线性变换，都对应着其矩阵表达。(V是n维输入空间，W是m维输出空间。)

思考问题：
从V=Rn到W=Rm的线性变换的矩阵表达A是唯一的吗？

answer: 不是唯一的，变换肯定是在空间中进行的，而无关于基的选择。基的选择会确定该变换矩阵表达A。

解释：我们用顺时针旋转90度来举例子，V=R2到W=R2，那么，不管我们怎么选择V=(v1,v2)与W=(w1,w2)，顺时针旋转90。始终表示顺时针旋转。。只是我们对基的选择，会决定该变换的矩阵表达A。
决定变换矩阵A的三要素

  • 基变换矩阵

    这个其实相当于特殊的线性变换，即Basisin -> Basisout的identitic transformation。说人话就是，我们只变换一下空间的基的表示而已。我们以1中p412举例。
    basisTransformation1
    basisTransformation2
    basisTransformation3

  • 如何选择好的基，使得该变换T在这组input basis与output basis下的矩阵表示比较简单？

    待续…